Étudier la vibration d’un cordon acoustique sous tension.
Langage de programmation primaire: Fortran.
Principe :
Nous avons considéré une corde, de longueur L et d’un densité linéique ρ(x) connue, qui est fixée à ses deux extrémités et soumise à une tension d’intensité σ . L’équation différentielle suivante nous permet de décrire la vibration de la corde :
Les conditions aux limites de Dirichlet sont : y(0) = y(L) = 0 et y(x) représente la position d’un
point matériel de la corde sur l’axe y.
Pour résoudre le problème, il faut chercher les solutions de cette équation différentielle, qui sont les pulsations propres ωk et les modes propres yk(x) .
L’approche numérique que nous utilisons est la méthode des différences finies qui d’abord
discrétise le domaine d’étude en N intervalles réguliers avec un pas de h = L et ensuite elle approcher les N dérivées de y(x) par des combinaisons linéaires. La dérivée seconde de y(x) peut donc être réécrit :
Avec ces deux équations et les conditions aux limites de Dirichlet, nous pouvons écrire notre
système de N équations sous la forme matricielle :
où [M] est une matrice symétrique définie positive et [I] est la matrice identité.
Méthodes Programmées :
- Generation de la Matrice [M]
- Méthode de la Descente
- Méthode de la Remontée
- Decomposition LU
- Méthode de Décomposition de Cholesky
- Méthode de la Puissance Inverse avec Cholesky
- Méthode SOR
- Méthode de la Puissance Inverse avec SOR
- Méthode de la Puissance Itérée
- Méthode de Déflation
GitHub Code